金价降价技巧论文题目_黄金降价对经济的影响

论精神损害赔偿

精神损害赔偿是近几年才出台的一项法律制度，她的问世和实施不仅是我国制度的完善，也是我国法制建设的一个里程碑。但是，现有法律、法规以及司法解释对精神损害赔偿的相关问题，如精神损害赔偿的范围、对象、界限、赔偿数额及在刑事附带民事诉讼中建立精神损害赔偿制度的必要性等问题，规定的很不具体明了，缺陷很多，且操作性不强，造成法官判案各行其是，有必要进行完善。为此，笔者撰写此文，对以上问题的完善略谈一管之见。

何谓精神损害赔偿？笔者认为，精神损害赔偿是指侵害人因侵权行为损害他人的正常意识，思维活动和一般心理状态，给受害人带来打击、造成悲伤或痛苦，受害人可依法获得赔偿权的法律制度。从这一定义可以看出，精神损害赔偿是协调平等主体之间的人身关系，属于民法调整的范畴。精神损害赔偿是近几年才正式出台的一项法律制度，她的问世和实施不仅是我国制度的完善，也是我国法制建设的一个里程碑。我国《民法通则》、《婚姻法》等法律法规对精神损害赔偿作了简要规定，最高人民法院对精神损害赔偿也作了专门的司法解释，但目前的法律法规和司法解释对精神损害赔偿相关问题的规定还不够明了和完善，操作性不强，造成司法实践者各行其是。因此，笔者试就精神损害赔偿的范围、对象、界限、赔偿数额以及在刑事附带民事诉讼中建立精神损害赔偿制度的必要性等问题谈谈个人的看法。

一、精神损害赔偿的范围

精神损害赔偿的范围即指何种侵权损害情形下予以精神赔偿的问题。根据最高人民法院2001年3月8日颁布的法释[2001]7号《关于确定民事侵权精神损害赔偿问题的解释》（以下简称最高院《解释》）的规定，精神损害赔偿的范围包括四种情形：一是侵害他人生命权、健康权、身体权、姓名权、肖像权、名誉权、荣誉权、人身自由权等人格权，给他人造成精神损害的；二是侵犯监护身份权非法使被监护人脱离监护，给监护人造成精神损害的；三是侵害死者人格权或非法利用、侵害遗体、遗骨给死者近亲属造成精神损害的；四是灭失或毁损他人具有人格象征意义的特定纪念物品而造成精神损害。此外，根据《婚姻法》第四十六条之规定，重婚、有配偶者与他人同居、实施家庭暴力、虐待遗弃家成员的，无过错方有权请求损害赔偿。这里的损害赔偿既包括物质损害赔偿，也包括精神损害赔偿。符合以上范围情形的则可以请求精神损害赔偿，反之，不符合以上范围情形的则不得请求精神损害赔偿。

从以上的规定不难看出，现行法律制度的精神损害赔偿范围过于狭小，它仅容纳了对大部分人身权的侵害，而把所有对财产权的侵害和对其他一些人身权的侵害排除在外。笔者认为、侵犯财产权或其他人生权，给他人造成精神损害的，也应给予精神赔偿。例如，张某长期在外打工，将其所积蓄30万元寄存在好友李某处，并托李某将其购房及结婚家俱，并告知女友刘某。后张某携刘某回家准备结婚。李某因将张某之款用于做生意全部亏损，无法购置房屋和家俱。刘某认为受骗，不告而别，不与张某结婚。张某见人财两空，一时想不通患上。又如某甲因邻里纠纷，将邻居老艺人某乙倾注一生心血的雕刻作品――神雕劈碎。某乙一气病倒，数月卧床不起。再如，医师某A将其病号某B的史到处宣扬，致使某B的男友怀疑其作风问题而与其分手，邻居同事都不愿与她接近。某B为此很苦恼，吃不好，睡不着，工作经常出差错，抑郁不乐达半年。以上三个例子中，李某和某甲侵犯了他人的财产权，医师某A侵犯了他人的人身隐私权，均给他人造成了精神损害，应当承担精神损害赔偿责任。

二、精神损害赔偿的对象

精神损害赔偿的对象即指因侵权行为造成精神损害并可依法获得精神赔偿的受害人，也即精神赔偿的权利人。根据最高院《解释》的规定，精神损害赔偿的对象既可以是受害者本人，也可以是受害者的近亲属。但在确定精神赔偿的权利人时，只能是固定的单项选择，而不能随意选择或双项选择。即受害者未死亡的权利人为受害者本人，受害者死亡的，权利人为受害者的近亲属。这样规定，表面看起来，好象没有什么问题，但细究一下，也不难发现一些问题：一是当受害者死亡精神赔偿权利人为其近亲属时，权利人和受害者是否一致？二是在这种情况下，如果权利人和受害者一致即属同一人，那么又如何对待因侵权行为致残的人的近亲属的精神损害赔偿问题。

因侵权行为造成精神损害的姑且称之为直接受害人，因直接受害人的损害而引起精神损害的姑且称之为间接受害人。间接受害人即为直接受害人的近亲属。人是有家庭和亲情的，因此，一般情况下有直接受害人就会有间接受害人。那么，当直接受害人死亡，作为权利人的间接受害人其行使的精神损害赔偿权，是自己的权利还是直接受害人的权利，也即此时的赔偿是对直接受害人的精神损害赔偿，还是对间接受害人的精神损害赔偿。有人认为，间接受害人行使的是直接受害人的权利，是一种财产继承性的权利行使。笔者不敢与这种观点苟同。首先，作为自然人的意识、思维活动和心理状态的外在形式即精神不能直接转化为财产，且其随生命结束而消失，消失后无需任何手段来保护，更谈不上财产性继承。其次，国家法律法规对因侵权致人死亡赔偿时给予一定数额的死亡补偿费或死亡赔偿金，实际上是对受害人死亡的安抚费。它不是安抚死者，死者因生命结束无需安抚。它是安抚生者，是对生者因受害人死亡承受悲伤痛苦的安抚或精神补偿。由此可知，间接受害人作为权利人行使的应该是自己的权利，是对自己的精神损害行使索赔权，而不是代直接受害人行使精神损害赔偿权。

既然直接受害者死亡后，间接受害者可对自己的精神损害行使索赔权，那么，在直接受害者致残时，如何对待间接受害人的精神索赔权呢？不容否定，直接受害者致残时会给间接受害者带来精神损害，而且在有些情况下（例如直接受害者高度残疾，面目全非、生活不能自理）间接受害者的精神损害程度不亚于直接受害者死亡时的精神损害。因此，对因直接受害者致残造成间接受害者的精神损害，法律也应给予保护。

在此提一下患者和植物人的精神损害保护问题。有人认为，患者或植物人的意识、思维活动本来就不正常，也体味不出精神打击的痛苦，因而对其精神损害没有必要予以法律保护。笔者认为这种观点是错误的。首先，精神保护权作为一项民事权利，法律应该平等地赋予给每一个公民，而不应有所区别。患者或植物人也不例外。其次，精神保护权作为一项人身权中的人格权，它与其他人格权如生命权、身体权、健康权等紧密连在一起，如果任意否定患者或植物人的精神保护权，势必践踏他们的其他人格权。第三，患者或植物人虽然不具有常人的意识和思维，也体味不出常人的精神痛苦，但并不完全丧失意识和思维，也不完全丧失精神痛苦，只是与常人相比程度不同而已，或是以另一种方式承受痛苦和折磨。

三、精神损害赔偿的界限

精神损害赔偿界限即指因侵权行为造成他人精神损害达到一定程度，法律认可准予赔偿的起点线。由于精神损害的大小没有秤称尺量，每个人的表现又不尽相同，有时甚至是看不见，摸不着。因此，针对精神损害程度，法律设定一个具体赔与不赔的标准，显得犹为重要。有了这个具体标准，就等于给了司法实践者一杆秤，一把尺，精神损害赔偿问题才得以正确裁量。另外，有了这个标准，还可以防止精神损害赔偿的随意性，避免针对同样的问题作出不同处理的不良现象。根据最高院《解释》第八条之规定，因侵权致人精神损害，但未造成严重后果，受害人请求赔偿精神损害的，人民法院一般不予支持。这一规定实际上是间接地给了精神损害赔偿一个界限标准，即受害人遭受精神损害，必须造成了严重后果，方可请求赔偿。这个标准很笼统，很不具体，太难操作，所谓的“严重后果”究竟指什么，令人费解。根据《解释》的相关规定和司法实践，笔者以为，侵权致人精神损害造成严重后果应从以下几方面去理解：一是侵权直接致人残疾或致人死亡。如交通事故致人残疾或死亡。二是侵权间接致人残疾或致人死亡，即侵权引发受害人原有的病症或因侵权迫使受害人遭遇某种境遇而致残或致死。如甲与乙有矛盾，甲不准乙

从其门前大道通行，如乙硬要通行，甲则重拳出击。乙惧怕，外出只好走山路绕道而行，在走山路时被毒蛇咬死。本案中乙死亡虽然不是甲侵权直接造成，但与甲不让从大道通行有关联。因而甲侵权间接致乙死亡。三是侵权使人精神失常，无法进行正常生活和工作达一定时间。如前面的例子中，医师某A泄漏病号某B的史隐私，使某B精神失常，就属这种情形。四是侵害死者的人格权或侵害遗体、遗骨，给死者的近亲属遭受精神痛苦。如何某与死者柳某生前有夙仇，柳某下葬的当日晚上，何某用锄头将柳某的尸体挖出，捣烂，不日被野兽吃尽。柳妻知情后痛不欲生，卧病月余。

四、精神损害赔偿的赔偿数额

精神损害赔偿的赔偿数额是指赔偿精神损害的折价数额。人的精神和生命是不可以用金价来衡量的，但在精神损害赔偿中确定一个统一的公平合理的赔偿额是非常重要的，它关系到法制的严肃性和法律的正确统一实施，关系到实施精神损害赔偿的社会效果，关系当事人切身的合法权益。最高法院《解释》第十条对确定精神损害的赔偿数额规定了七个方面的参考因素：一是侵权人的过错程度，二是侵害的手段、场合、行为方式等具体情节，三是侵权行为所造成的后果，四是侵权人的获利情况，五是侵权人承担责任的经济能力，六是受诉法院所在地的平均生活水平，七是法律法规对精神损害赔偿数额有明确规定的，从其规定。除第七个因素外，依据前六个因素根本无法确定一个统一的赔偿数额，也无法确定一个公平合理的赔偿数额。而社会的进步和法制的发展又要求确立一个统一的公平合理的赔偿数额。这是因为：精神赔偿权这一表现为人身人格权的民事权利每个公民都平等地享有，当然也就要得到平等地保护。精神本无价，如果要标价的话，那么在公民受到精神损害时，其价格应该说是相等统一的，不应受其他条件影响而有差别，这是其一。其二，在确定一个公平统一的赔偿数额的同时，还应考虑精神损害程度不一或

等级不同的具体情况，对不同等级或不同程度的精神损害分别确定一个合理、公平、统一的赔偿数额，以显示法律的实用性和科学性。其三，对精神损害若不确定一个统一、公平合理的赔偿数额，那么法官对精神赔偿的自由裁量权空间就显得太大了，他们可以各行其是地裁量。这样不仅达不到法治的目的，而且还容易滋生腐败。

确定一个统一、公平、合理的精神损害赔偿数额，首先要对精神损害的程度科学地划分为不同等级，然后对不同等级配以相应的金额。笔者认为，根据精神损害程度的不同，可将精神损害划分为四个等次，即：因侵权直接致人残疾或死亡的，为一级精神损害；因侵权间接致人残疾或死亡的，为二级精神损害；因侵权致人一段时间精神痛苦的，为精神损失；侵害死者人格权或侵害遗体、遗骨致人精神痛苦的，为四级精神损害。配置赔偿数额即确定不同等级精神损害的精神抚慰金问题，可参照院《道路交通事故处理办法》按伤残等级确定相应生活补助费的做法，但应避免地区差别和行业差别，以维护的平等性。具体操作可统一按上一年全国平均生活水平年为计算单位，一级精神损害可赔8―10年，二级精神损害可赔5―8年，精神损害可赔3―5年，四有精神损害可在1―3年间赔偿。在具体案件中，还应考虑最高院《解释》第十条规定的情形及受害人是否有过错责任来确定他的最后赔偿数额。

关于同一侵权行为造成多人精神损害，如何计算权利人的问题，有不同看法。有人认为，同一侵权行为造成多人精神损害，如果该多人为直接受害人，权利人按直接受害人的人数计算；如果该多人既有直接受害人，又有间接受害人，那么权利人的计算，就是直接受害人的人数，加上间接受害人的人数，间接受害人的人数以家庭或亲属范围为计算单位，某单位为多人的计算为一人。这种意见有一定道理，不足的是，它忽略了间接受害人的精神损害及合法权益，不应该把多个间接受害人计算为一人。既然间接受害人同为权利人，那么所有间接受害人均应受法律保护。

五、刑事附带民事诉讼建立精神损害赔偿制度的必要性

根据我国《刑法》第三十六条第一款、《刑事诉讼法》第七十七条第一款之规定，被害人只能对其遭受的物质损失提起附带民事诉讼，而不得对其精神损害起附带民事诉讼。对此最高院有两个专门的司法解释。笔者认为，刑事附带民事诉讼限制精神损失赔偿的做法弊多利少，是不可取的，主要表现在：

首先，刑事附带民事诉讼限制精神损害赔偿会导致不可调和的法律冲突。一个国家所有的法律规范，就某一事项所作的原则规定和具体要求，应该是协调统一的，然而刑事附带民事诉讼限制精神赔偿损坏了我国法律之间的协调统一性，造成法律冲突。我国《民法通则》、《婚姻法》、《道路交通事故处理办法》等涉及调整民事法律关系的法律法规对精神损害赔偿作了明确规定，最高法院对民事侵权精神损害赔偿也作了专门的司法解释。附带民事诉讼的实际问题处理最终要适用民事实体法，对此最高法院《关于执行<中华人民共和国刑事诉讼法>若干问题的解释》第一百条已有明文规定。这样一来，针对精神赔偿而言，刑事附带民事诉讼就免不了出现刑民不一，程序法和实体法互相矛盾，即产生刑事法律限精神赔偿和民事法律准许精神赔偿的规范冲突。我国《立法法》对法律的新旧规范冲突、级别规范冲突、特别规范与一般规范冲突作了处理规定，但对不同法律部门的一般规范冲突和特别规范冲突，未作处理规定。民事法律准许精神赔偿与刑事法律不准许精神赔偿的规范冲突，既不是新旧规范冲突或级别规范冲突，也不是特别规范与一般规范的冲突，因而其规范冲突得不到协调解决，使刑事法律与民事法律对立起来。

其次，刑事附带民事诉讼限制精神损害赔偿违背了程序法服务实体法的法理原则。我们知道，实体法是指规定现实社会关系的实体权利义务关系的法律，程序法律是指规定保护实体权利义务的实现的而进行诉讼的步骤、方式或方法的法律。程序法与实体法的关系归根到底是手段和目的的关系，程序法是手段，实体法是目的，程序法服务实体法。刑事诉讼法作为程序法，在惩治犯罪方面，它的服务对象固然是刑法，但在保护人们被犯罪行为侵犯的合法民事权益方面，它也不应超越程序法与实体法关系的范畴，还应当服务民事实体法。然而，民事实体法准许精神赔偿，刑事诉讼法排除精神赔偿，司法实践也按刑事诉讼法的规定将精神赔偿拒之门外，这样，不仅打破了程序法和实体法手段和目的的正常关系，而且还出现了实体法服从程序法的奇怪现象。

再次，刑事附带民事诉讼限制精神损害赔偿是不切实际和不科学的。精神损害赔偿是对受害人遭受不法侵犯造成的精神打击和精神痛苦给予一定的经济补偿。给予精神赔偿的一个重要参考因素是精神损害程度，而决定精神损害程度的主要方面是侵害人不法侵犯手段的恶劣性及其对受害人的影响。一般情况下，不法侵犯的手段越恶劣，对受害人的影响就越大，受害人的精神损害也就越大。不容否定，民事侵权会造成精神损害，刑事犯罪也会造成精神损害。就精神损害程度而言，在很多情况下，例如诽谤、侮辱、毁容、、中的碎尸、焚尸等刑事犯罪，其不法侵害手段比民事侵权行为恶劣的多，其对被害人及其亲属的精神打击和损害程度无疑比民事侵权的受害人要大的多。然而民事侵权的受害人可依法通过民事诉讼获得精神赔偿，刑事被害人及其亲属却不能通过附带民事诉讼弥补精神损失。这无疑是不合情理的，也是不公正的。更重要的是要正视民事侵权和刑事犯罪均可能造成他人精神损害这一事实，刑民法律不应该作出相矛盾的规定，否则有损法律规范的科学体系。

最后，刑事附带民事诉讼限制精神损害赔偿，势必增加当事人的诉累和人民法院的工作负荷，降低诉讼效率。根据《刑事诉讼法》第七十八条之规定，一般情况下，附带民事诉讼应当同刑事案件一并审判。这样规定是出于减少诉累和保障较好诉讼效率的立法本意。又据最高法院《关于执行〈中华人民共和国刑事诉讼法〉若干问题的解释》第八十九条之规定，受害人或其亲属没有在刑事诉讼中提起附带民事诉讼可以在刑事判决生效后另行提起民事诉讼。由于刑事附带民事诉讼限制精神赔偿，而民事诉讼又准许精神赔偿，因此，许多刑事案件的被害人或其亲属误以为可通过民事诉讼获取精神赔偿，在刑事诉讼中不提起附带民事诉讼而另外提起民事诉讼，有的甚至地提起附带民事诉讼后，又单独就精神损害赔偿提起民事诉讼。这就使得大量本可与刑事案一并审理的附带民事诉讼，另外还要履行起诉、立案、审判等程序规定。不仅如此，而且还会出现基于同样的案件事实，由于刑事诉讼与民事诉讼对精神赔偿的不同态度，曾经对多起案件作出了不同的判决结果。这样做的效果很不好，也不会被民众所接受。

另外，有人认为，刑事犯罪不同于民事侵权，刑事被告人是要承担刑事责任，民事侵权人不会承担刑事责任，因此，若刑事被告人承担了刑事责任，对被害方可不予精神赔偿。这种观点是站不住脚的。因为犯罪行为不仅侵犯了刑法保护的客体而承担刑事责任，而且可能侵害他人的民事合法权益而承担民事责任。民事责任和刑事责任是两种不同的法律责任，不可相互替代。精神赔偿属于民事责任的范畴，不能因为被告人承担了刑事责任，而免除其精神赔偿的民事责任。

鉴于上述情况，笔者建议修改《刑法》和《刑事诉讼法》的有关条款，在刑事附带民事诉讼中建立精神损害赔偿制度，以避免法律冲突，维护程序法和实体法正常的法理关系，确立公平科学的法律赔偿体系，减少诉累，提高诉讼效率。

现代数学方法概论论文

经济数学问题例说自1993年5月高考命题组提请注意数学的应用以后，1995年全国高考文理科试题中又出现了一道关于淡水鱼养殖的市场预测的应用题，这是一道数学应用方面的好题，由于它是经济数学方面的问题，从而在建立社会主义市场经济新体制的今天，格外地引起大家的注目。

所谓经济数学问题，就是用数学方法来研究经济学的一些问题，如经济增长率、人口增长率等方面的国民经济问题，银行业务问题，证券市场问题，保险计算问题，消费与市场预测问题，投入产出问题，等等。上述问题中，能用中学生可以接受的初等数学方法解决的一些基础问题都应当引起我们的重视。

下面举几个例子。

例1：某商品的市场需求量P（万件）?、市场供应量Q与市场价格x（元／件）分别近似地满足下列关系： P＝－x＋70； Q＝2x－20当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量。

（1）求平衡价格和平衡需求量；

（2）若每件商品征税3元，求新的平衡价格；

（3）若要使平衡需求量增加4万件，对每件商品应给予多少元补贴？

解：（1）求得平衡价格为30元/件，平衡需求量为40万件。

（2）设新的市场平衡价格为x元/件，此即为消费者支付价格，而提供者得到的价格则为（x一3）元/件，依题意得－x＋70＝2（x－3）－20，从而解得新的平衡价格为32元/件。

（3）设给予t元/件补贴，此时的市场平衡价格亦即消费者支付价格为x元/件，则提供者收到的价格为（x＋t）元/件，依题意得方程组－x＋70＝44

2（x＋t）－20＝44　解之得 x＝26 t＝6

例2：某产品日产量为20台，每台价90元，若日产量每增加1台，则单价就要降低3元，问如何设计生产，使日总收入最大？

解：设每日多生产x台，总收入为y元，依题意得 y＝（90－3x）（20＋x）易得当日产量为25台时，总收入最大。

例3：某厂今年初100万元，复利计息，年利率为10％（即本年的利息计入次年的本金生息），计算从今年末开始每年偿还固定的金额，恰在第12年末还清，问每年偿还的金额是多少万元？

解：设每年偿还的金额为X万元，依题意得： x＋x（1＋10％）＋x（1＋10％）2＋…＋x（1＋10％）11＝100（1＋10％）12解之得x＝15（万元）

09-12-18 | 添加评论 | 打赏

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hellomydram11

例如：

极限的求法

1. 直接代入法

适用于分子,分母的极限不同时为零或不同时为

例 1. 求 .

分析 由于 ,

所以用直接代入法.

解 原式=

2.利用极限的四则运算法则来求极限

为叙述方便,我们把自变量的某个变化过程略去不写,用记号表示在某个极限过程中的极限,因此极限的四则运算法则可确切地叙述如下:

定理 在同一变化过程中,设都存在,则

(1)

(2)

(3)当分母时,有

总的说来,就是函数的和,差,积,商的极限等于函数极限的和,差,积,商.

求.

解

3.无穷小量分出法

适用于分子,分母同时趋于 ,即 型未定式

例3.

分析 所给函数中,分子,分母当 时的极限都不存在,所以不能直接应用法则.注意到当 时,分子,分母同时趋于 ,首先将函数进行初等变形,即分子,分母同除 的最高次幂,可将无穷小量分出来,然后再根据运算法则即可求出极限.

为什么所给函数中,当 时,分子,分母同时趋于 呢 以当 说明:因为 ,但是 趋于 的速度要比 趋于 的速度快,所以 .不要认为 仍是 (因为 有正负之分).

解 原式 (分子,分母同除 )

(运算法则)

(当 时, 都趋于 .无穷大的倒数是无穷小.)

4. 消去零因子法

适用于分子,分母的极限同时为0,即 型未定式

例4.

分析 所给两个函数中,分子,分母的极限均是0,不能直接使用法则四,故用消去零因子法.

解 原式= (因式分解)

= (约分消去零因子 )

= (应用法则)

=

5. 利用无穷小量的性质

例5. 求极限

分析 因为 不存在,不能直接使用运算法则, 故必须先将函数进行恒等变形.

解 原式= (恒等变形)

因为 当 时, , 即 是当 时的无穷小,而 ≤1, 即 是有界函数,由无穷小的性质:有界函数乘无穷小仍是无穷小,

得 =0.

6. 利用拆项法技巧

例6:

分析:由于=

原式=

7. 变量替换

例7 求极限 .

分析 当 时,分子,分母都趋于 ,不能直接应用法则,注意到 ,故可作变量替换.

解 原式 =

= (令 ,引进新的变量,将原来的关于 的极限转化为 的极限.)

= . ( 型,最高次幂在分母上)

8. 分段函数的极限

例8 设 讨论 在点 处的极限是否存在.

分析 所给函数是分段函数, 是分段点, 要知 是否存在,必须从极限存在的充要条件入手.

解 因为

所以 不存在.

注1 因为 从 的左边趋于 ,则 ,故 .

注2 因为 从 的右边趋于 ,则 ,故 .

宏志网校 俊杰

1、利用定义求极限。

2、利用柯西准则来求。 柯西准则：要使{xn**有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N，使得当n>N时，对于 任意的自然数m有|xn-xm|<ε.

3、利用极限的运算性质及已知的极限来求。 如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5 =lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5 =1.

4、利用不等式即：夹挤定理。

5、利用变量替换求极限。 例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1) 可令x=y^mn 得：＝n/m.

6、利用两个重要极限来求极限。 （1）lim sinx/x=1 牐爔->0 (2)lim (1+1/n)^n=e 牐爊->∞ 7、利用单调有界必有极限来求。

8、利用函数连续得性质求极限。

9、用洛必达法则求，这是用得最多的。

10、用泰勒公式来求，这用得也很经常。

　按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数列称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成

a1，a2，a3，…，an，…

简记为｛an｝，项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence），项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence）。

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；

从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列；

各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数）；

各项相等的数列叫做常数列。

通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

数列中数的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）为定义域的函数an=f(n)。

如果可以用一个公式来表示,则它的通项公式是a(n)=f(n).

[编辑本段]表示方法

如果数列｛an｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如an=(-1)^(n+1)+1

如果数列｛an｝的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。如an=2a(n-1)+1 (n>1)

[编辑本段]等差数列

定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。

缩写

等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。

等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。

有关系：A＝（a＋b）/2

通项公式

an=a1+(n-1)d

an=Sn-S(n-1) (n>=2)

前n项和

Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2

性质

且任意两项am，an的关系为：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有

am+an=ap+aq

Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。

和＝（首项＋末项）×项数÷2

项数＝（末项-首项）÷公差＋1

首项=2和÷项数-末项

末项=2和÷项数-首项

设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。

应用

日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别

时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。

若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0。

[编辑本段]等比数列

定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。

缩写

等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。

等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

有关系：G^2＝ab；G＝±(ab)^(1/2)

注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。

通项公式

an=a1q^(n-1)

an=Sn-S(n-1) (n≥2)

前n项和

当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)

性质

任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

（4）等比中项：aq·ap=ar*2，ar则为ap，aq等比中项。

记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

性质：

①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq；

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.

(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)

在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.

注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

应用

等比数列在生活中也是常常运用的。

如：银行有一种支付利息的方式---复利。

即把前一期的利息赫本金价在一起算作本金，

在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。

按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。

（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）

若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。

（2）求和公式：Sn=nA1(q=1)

Sn=A1(1-q^n)/(1-q)

=(a1-a1q^n)/(1-q)

=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)

(前提：q不等于 1)

任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。

记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

[编辑本段]一般数列的通项求法

一般有：

an=Sn-Sn-1 （n≥2）

累和法（an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an）。

逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。

化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。

特别的：

在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n

2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn

即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列

不动点法（常用于分式的通项递推关系）

[编辑本段]特殊数列的通项的写法

1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n

1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n

2，4，6，8，10，12，14.......-------an=2n

1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1

-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n

1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)

1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2

1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2

9,99,999,9999,99999,......... ------an=（10^n)-1

1,11,111,1111,11111.......--------an=[（10^n)-1]/9

1，4，9，16，25，36，49，.......------an=n^2

1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)

[编辑本段]数列前N项和公式的求法

(一)1.等差数列:

通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数

an=ak+(n-k)d ak为第k项数

若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2

2.等差数列前n项和:

设等差数列的前n项和为Sn

即 Sn=a1+a2+...+an;

那么 Sn=na1+n(n-1)d/2

=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n

还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法

(二)1.等比数列:

通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项

an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)

则an/am=q^(n-m)

(1)an=am*q^(n-m)

(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0)

(3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq

2.等比数列前n项和